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\newtheorem*{remarque}{Remarque}
\newtheorem*{notation}{Notation}

\title{Les Nombres complexes}
\author{Olivier Castéra}
\email{o.castera@free.fr}
\urladdr{http://o.castera.free.fr/}
\date{\today}

\begin{document}
\begin{abstract}
Le corps des nombres complexes $\mathbb C$ forme une extension quadratique du corps des nombres réels $\mathbb R$.
Les nombres complexes de la forme $(x,0)$ forment un sous-corps de $\mathbb C$ qui est isomorphe au corps $\mathbb R$, par l'application qui à $(x,0)$ fait correspondre $x$.
\end{abstract}
\maketitle% affiche le titre
\thispagestyle{empty}% supprime l'affichage du numéro de la première page
\tableofcontents% affiche la table des matières (ToC)
\section{Groupe}
Un groupe est une structure algébrique relativement simple puisqu'elle ne contient qu'une seule opération.
Cependant, la notion d'élément symétrique revient à introduire une seconde opération.
Elle est utilisée dans beaucoup d'autres structures algébrique.
\begin{definition}
Un ensemble non vide $G$ muni de l'opération~$\Box$, est un groupe, noté $(G,\Box)$, ssi
\begin{enumerate}
 \item l'opération binaire~$\Box$ est une loi de composition interne~: à chaque paire d'éléments de $G$, elle associe un élément de $G$
\begin{align*}
\forall (a,b)\in G^2,\quad a\Box b\in G
\end{align*}
 \item l'opération $\Box$ est associative
\begin{align*}
\forall (a,b,c)\in G^{3},\quad a\Box(b\Box c)=(a\Box b)\Box c
\end{align*}
 \item Il existe un élément neutre (ou identité) $e$ dans $G$, pour l'opé\-ra\-tion~$\Box$ 
\begin{align*}
\exists e \in G\ /\ \forall a\in G,\quad e\Box a=a\Box e=a
\end{align*}
 \item Tout élément $a$ de $G$ possède un symétrique dans $G$, noté $\bar a$  
\begin{align*}
\forall a\in G,\ \exists \bar a\in G\ /\quad a\Box \bar a=\bar a\Box a=e 
\end{align*}
\end{enumerate}
Pour un groupe additif, la loi de composition est notée $+$.
L'élément neutre est l'élément nul ou zéro. Le symétrique de $a$ est appelé l'opposé de $a$, et noté $-a$.\\
Pour un groupe multiplicatif, la loi de composition est notée $\times$ ou par une juxtaposition des éléments.
L'élément neutre est l'unité. Le symétrique de $a$ est appelé inverse de $a$, et noté $a^{-1}$.
\end{definition}
\begin{theoreme}
Quel que soit le groupe $(G,\Box)$, l'élément neutre est unique.
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]
Supposons que $e$ et $e'$ soient les éléments neutres du groupe $(G,\Box)$ 
\begin{align*}
&\forall x\in G,\ x\Box e=e\Box x=x\\
&(x=e')\Rightarrow(e'\Box e=e\Box e'=e')\\
\\
&\forall x\in G,\ x\Box e'=e'\Box x=x\\
&(x=e)\Rightarrow(e\Box e'=e'\Box e=e)\\
\\
&(e'\Box e=e'\ \ \text{et}\ \ e'\Box e=e)\Rightarrow (e'=e)
\end{align*}
\end{proof}
\begin{definition}
Un groupe $(G,\Box)$ est dit abélien ssi l'opération $\Box$ est commutative
\begin{align*}
\forall (a,b)\in G^2,\quad a\Box b=b\Box a
\end{align*}
\end{definition}
\begin{exemple}
Les ensembles des entiers naturels $\mathbb Z$, des rationnels $\mathbb Q$, et des réels $\mathbb R$, sont des groupes abéliens pour l'addition $+$.
On note ces groupes respectivement $(\mathbb Z,+)$, $(\mathbb Q,+)$ et $(\mathbb R,+)$.

Les ensembles des rationnels privés de zéro (zéro n'a pas d'inverse), $\mathbb Q^*$, et des réels privés de zéro, $\mathbb R^*$,
sont des groupes abéliens pour la multiplication $\times$. On note ces groupes respectivement $(\mathbb Q^*,\times)$ et $(\mathbb R^*,\times)$.
\end{exemple}
\subsection{Produit direct de groupes}
\begin{definition}
Soient $(G,\star)$ et $(H,\star)$ deux groupes munis de la même loi de composition interne $\star$.
Considérons le produit cartésien $G\times H$ des ensembles $G$ et $H$, c'est à dire l'ensemble des paires or\-don\-nées ${\{g\in G,h\in H,(g,h)\}}$.
On munit le produit cartésien $G\times H$ de l'opération $\ostar$
\begin{align*}
\forall (g_{1},g_{2})\in G^2&,\ \forall (h_{1},h_{2})\in H^2,\\
(g_{1},h_{1})\ostar(g_{2},h_{2})&=(g_{1}\star g_{2},h_{1}\star h_{2})
\end{align*}
$(G\times H,\ostar)$ est appelé produit direct de $G$ et $H$.
\end{definition}
\begin{theoreme}\label{direct}
Le produit direct $(G\times H,\ostar)$ forme un groupe.
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]\hfill
\begin{enumerate}
\item l'opération $\ostar$ est une loi de composition interne
\begin{align*}
&(G,\star)\ est\ un\ groupe\ donc\ \forall (g_{1},g_{2})\in G^2,\ (g_{1}\star g_{2})\in G\\
&(H,\star)\ est\ un\ groupe\ donc\ \forall (h_{1},h_{2})\in H^2,\ (h_{1}\star h_{2})\in H\\
&\forall (g_{1},h_{1})\in (G\times H),\ \forall (g_{2},h_{2})\in (G\times H),\\
&\qquad\qquad(g_{1}\star g_{2},h_{1}\star h_{2})\in (G\times H)\\
&\qquad\qquad(g_{1},h_{1})\ostar(g_{2},h_{2})\in (G\times H)
\end{align*}
\item l'opération $\ostar$ est associative
\begin{align*}
\forall (g_{1},h_{1}),(g_{2},h_{2}),(g_{3},h_{3})&\in (G\times H)^{3},\\
(g_{1},h_{1})\ostar[(g_{2},h_{2})\ostar(g_{3},h_{3})]&=(g_{1},h_{1})\ostar[(g_{2}\star g_{3},h_{2}\star h_{3})\\
&=[g_{1}\star (g_{2}\star g_{3}),h_{1}\star (h_{2}\star h_{3})]
\end{align*}
et,
\begin{align*}
[(g_{1},h_{1})\ostar(g_{2},h_{2})]\ostar(g_{3},h_{3})&=(g_{1}\star g_{2},h_{1}\star h_{2})]\ostar(g_{3},h_{3})\\
&=[(g_{1}\star g_{2})\star g_{3},(h_{1}\star h_{2})\star h_{3}]\\
&=[g_{1}\star (g_{2}\star g_{3}),h_{1}\star (h_{2}\star h_{3})]
\end{align*}
où l'on a utilisé l'associativité de la loi $\star$ dans $G$ et dans $H$.\\
Par conséquent,
\begin{align*}
(g_{1},h_{1})\ostar[(g_{2},h_{2})\ostar(g_{3},h_{3})]=[(g_{1},h_{1})\ostar(g_{2},h_{2})]\ostar(g_{3},h_{3})
\end{align*}
\item l'opération $\ostar$ admet un élément neutre dans $G\times H$.\\
Soit $e$ l'élément neutre du groupe $G$, et soit $e'$ l'élément neutre du groupe $H$
\begin{align*}
\forall (g,h)\in (G\times H),\ (e,e')\ostar(g,h)&=(e\star g,e'\star h)\\
&=(g,h)\\
\\
(g,h)\ostar(e,e')&=(g\star e,h\star e')\\
&=(g,h)
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{theoreme}\label{t3}
Si $(G,\star)$ et $(H,\star)$ sont des groupes abéliens, alors le produit direct $(G\times H,\ostar)$ forme un groupe abélien.
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]
\begin{align*}
(G,\star)\,est\,un\,groupe\,ab\acute elien\ :\ g_{1}\star g_{2}&=g_{2}\star g_{1}\\
(H,\star)\,est\,un\,groupe\,ab\acute elien\ :\ h_{1}\star h_{2}&=h_{2}\star h_{1}\\
\forall (g_{1},h_{1}),(g_{2},h_{2})\in (G\times H)^2,(g_{1},h_{1})\ostar(g_{2},h_{2})&=(g_{1}\star g_{2},h_{1}\star h_{2})\\
&=(g_{2}\star g_{1},h_{2}\star h_{1})\\
&=(g_{2},h_{2})\ostar(g_{1},h_{1})
\end{align*}
\end{proof}
\subsection{Morphisme de groupes}
\begin{definition}
Soient deux groupes $(G,*)$ et $(G',\star)$. L'application $f$ de $(G,*)$ dans $(G',\star)$ est un morphisme de groupes ssi
\begin{align*}
f : G&\rightarrow G'\\
\forall (x,y)\in G^2,\ f(x*y)&=f(x)\star f(y)
\end{align*}
$f$ est un isomorphisme de groupes ssi $f$ est un morphisme bijectif. Dans ce cas, $f^{-1}$ est aussi un morphisme de groupes.
\end{definition}
\section{Anneau}
\begin{definition}\label{anneau}
Un ensemble $A$ muni de deux opérations, l'addition notée $+$ et la multiplication notée $\times$, est un anneau noté $(A,+,\times)$, ssi
\begin{enumerate}
 \item $(A,+)$ est un groupe abélien
 \item la multiplication est une loi de composition interne
\begin{align*}
\forall (a,b)\in A^2,\ a\times b\in A
\end{align*}
  \item la multiplication est associative
\begin{align*}
\forall (a,b,c)\in A^{3},\ a\times(b\times c)=(a\times b)\times c
\end{align*}
 \item la multiplication admet un élément neutre $1$ dans $A$
\begin{align*}
\exists 1 \in A\ /\ \forall a\in A,\ 1\times a=a\times 1=a
\end{align*}
 \item la multiplication est distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition
\begin{align*}
\forall x,y,z\in A^{3},\ a\times(b+c)&=(a\times b)+(a\times c)\\
\forall x,y,z\in A^{3},\ (b+c)\times a&=(b\times a)+(c\times a)
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}\label{anneaucommutatif} 
Un anneau $(A,+,\times)$ est dit commutatif ssi la multiplication est commutative
\begin{align*}
\forall (a,b)\in A^2,\ a\times b=b\times a
\end{align*}
\end{definition}
\begin{regle}
Quel que soit l'anneau $(A,+,\times)$
\begin{align*}
&Soit\ 0\ l'\acute el\acute ement\ neutre\ de\ la\ loi\ +\ :\ \forall x \in A,\ 0\times x=x \times 0=0\\
&Soit\ -y\ le\ sym\acute etrique\ de\ y\ pour\ la\ loi\ +\ :\\
&\qquad\forall (x,y)\in A^2,\ x\times(-y)=\minus(x\times y)\\
&\qquad\forall (x,y,z)\in A^{3},\ x\times[y+(-z)]=(x\times y)+[x\times (-z)]\\
&Si\ (A,+,\times)\ est\ un\ anneau\ commutatif,\ bin\hat ome\ de\ Newton~:\\
&\qquad\forall n\in \mathbb N,\ \forall(x,y)\in A^2,\ (x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}\times y^{n+(-k)}
\end{align*}
\end{regle}
\subsection{Anneau intègre}
\begin{definition}
Un élément non nul $a$ d'un anneau $(A,+,\times)$ est un diviseur de zéro à gauche, ssi
\begin{align*}
\exists b\neq 0\in A\ /\ a\times b=0
\end{align*}
\end{definition}
\begin{definition}
Un élément non nul $a$ d'un anneau $(A,+,\times)$ est un diviseur de zéro à droite, ssi
\begin{align*}
\exists b\neq 0\in A\ /\ b\times a=0
\end{align*}
\end{definition}
\begin{definition}
Un anneau $(A,+,\times)$ est intègre s'il est différent de l'élément nul $\{0\}$, commutatif, et sans diviseur de zéro.
\end{definition}
\begin{theoreme}
Pour tout anneau $(A,+,\times)$ intègre
\begin{align*}
\forall (a,b)\in A^2,\ (a\times b=0)\Rightarrow(a=0\ \text{ou}\ b=0) 
\end{align*}
\end{theoreme}
\subsection{Sous-anneau}
\begin{definition}\label{sousanneau}
Toute partie $A'$ de l'ensemble $A$ est un sous-anneau de l'anneau $(A,+,\times)$ ssi
\begin{enumerate}
 \item $(A',+,\times)$ est un anneau
 \item $A'$ est stable pour l'addition
\begin{align*}
\forall (a,b)\in A'^2,\ a+b\in A'
\end{align*}
 \item $A'$ est stable pour la multiplication
\begin{align*}
\forall (a,b)\in A'^2,\ a\times b\in A'
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{definition}
\subsection{Morphisme d'anneaux}
\begin{definition}\label{morphismed'anneau}
Soient deux anneaux $(A_{1},+,\times)$ et $(A_{2},\boxplus,\boxdot)$,
et soient $e_{1}$ l'élément neutre de $\times$ dans $A_{1}$,
et $e_{2}$ l'élément neutre de $\boxdot$ dans $A_{2}$.
L'application $f$ de $(A_{1},+,\times)$ dans $(A_{2},\boxplus,\boxdot)$ est un morphisme d'anneaux ssi
\begin{enumerate}
\item $\forall (x,y)\in A_{1}^2,\ f(x+y)=f(x)\boxplus f(y)$\\
\item $\forall (x,y)\in A_{1}^2,\ f(x\times y)=f(x)\boxdot f(y)$\\
\item $f(e_{1})=e_{2}$
\end{enumerate}
$f$ est un isomorphisme d'anneaux ssi $f$ est un morphisme bijectif. Dans ce cas, $f^{-1}$ est aussi un morphisme d'anneaux.
\end{definition}
\section{Corps}
\begin{definition}\label{corps}
Un ensemble $K$ muni de l'addition $+$ et de la multiplication $\times$ est un corps, noté $(K,+,\times)$, ssi
\begin{enumerate}
 \item $(K,+,\times)$ est un anneau
 \item tout élément non nul $a$ de $K$ possède un inverse dans $K$ pour la multiplication, noté $a^{-1}$, 
\begin{align*}
\forall a\in K,\ a\neq 0,\ \exists a^{-1}\in K\ /\ a\times a^{-1}=a^{-1}\times a=1 
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
Un corps $(K,+,\times)$ est dit commutatif ssi la multiplication est commutative
\begin{align*}
\forall (a,b)\in K^2,\ a\times b=b\times a
\end{align*}
\end{definition}
\begin{theoreme}\label{diviseur}
Si $(K,+,\times)$ est un corps alors il n'a pas de diviseur de zéro.
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]
D'après la définition \ref{corps}, si $(K,+,\times)$ est un corps
\begin{align*}
\forall a\in K,\ a\neq 0,\ \exists a^{-1}\in K\ /\ a\times a^{-1}&=a^{-1}\times a=1
\end{align*}
Pour démontrer que
\begin{align*}
(a\times b=0)\Rightarrow(a=0\ \text{ou}\ b=0) 
\end{align*}
nous allons montrer que si $a\times b=0$ alors il est impossible d'avoir à la fois $a\neq 0\ \text{et}\ b\neq 0$.
\begin{align*}
\forall (a,b)\in K^2,\ a\times b&=0\\
\forall a\in K,\ a\neq 0,\ a^{-1}\times a\times b&=a^{-1}\times 0\\
1\times b&=0\\
b&=0
\end{align*}
Et par symétrie des rôles de $a$ et $b$, si $b\neq 0$ alors $a=0$.
\end{proof}
\subsection{Sous-corps}
\begin{definition}\label{souscorps}
Toute partie $K'$ de l'ensemble $K$ est un sous-corps du corps $(K,+,\times)$ ssi
\begin{enumerate}
 \item $(K',+,\times)$ est un corps
 \item $K'$ est stable pour l'addition
\begin{align*}
\forall (a,b)\in K'^2,\ a+b\in K'
\end{align*}
 \item $K'$ est stable pour la multiplication
\begin{align*}
\forall (a,b)\in K'^2,\ a\times b\in K'
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{definition}
\section{Racines Carrées}\label{RC}
Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif. Nous dirons qu'un élément $\alpha$ de $A$ est un carré dans $A$ ssi
\begin{align*}
\exists x\in A\ /\ \alpha=x^2
\end{align*}
$x$ est appelée racine carrée de $\alpha$ dans $(A,+,\times)$.
Si $x$ est une racine carrée de $\alpha$ dans $A$ alors il en est de même de $-x$, car ${(-x)^2=\alpha}$.
Si l'anneau $(A,+,\times)$ est intègre, $\alpha$ ne peut admettre plus de deux racines carrées dans $A$,
car la relation ${x^2=y^2}$, qui s'écrit dans tous les cas sous la forme ${(x-y)(x+y)=0}$, implique soit ${x=y}$, soit ${x=-y}$.
\begin{exemple}
Si $(A,+,\times)$ est l'anneau des nombres réels $(\mathbb R,+,\times)$, $\alpha$ est un carré dans $A$ ssi $\alpha\geqslant0$,
par exemple pour $\alpha=2$. Si $(A,+,\times)$ est l'anneau des nombres rationnels $(\mathbb Q,+,\times)$, $2$ n'est pas un carré.
\end{exemple}
On est ainsi conduit à examiner le problème suivant :\\
Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif et $\alpha$ un élément de $A$ qui n'est pas un carré dans $A$.
Est-il possible de construire un anneau com\-mu\-ta\-tif $(L,\boxplus,\boxdot)$ possédant les propriétés suivantes :

$A$ est un sous-anneau de $L$, et $\alpha$ est un carré dans $L$ ?\\
\\
Soit $\alpha$ un élément d'un anneau commutatif $(A,+,\times)$, qui n'est pas un carré dans $A$.
Supposons le problème résolu et désignons par $(L,\boxplus,\boxdot)$ un anneau commutatif dont $A$ soit un sous-anneau
\begin{align*}
(A,+,\times)\subseteq (L,+,\times)
\end{align*}
et par $\omega$ une racine carrée de $\alpha$ dans $L$
\begin{align*}
\omega^2=\alpha
\end{align*}
Désignons par $L'$ l'ensemble des éléments $z$ de l'anneau commutatif $L$ possédant la propriété
\begin{align*}
\forall z\in L',\ \exists (x,y)\in A^2\ /\ z=x+(\omega\times y)
\end{align*}
\begin{notation}
Nous posons que la loi de composition $\times$ est prioritaire sur la loi de composition $+$,
et nous omettrons souvent le symbole $\times$ pour faciliter la lecture. Par conséquent, nous écrirons
\begin{align*}
z=x+\omega y
\end{align*}
\end{notation}
\begin{theoreme}
$(L',+,\times)$ est un sous-anneau de $(L,\boxplus,\boxdot)$ contenant $(A,+,\times)$ et $\omega$.
\end{theoreme}
\begin{proof}
En utilisant les propriétés des lois de composition internes d'un anneau, données en définition \ref{anneau}, nous avons
\begin{align}
\forall (x'+\omega y')\in L'\ &\text{et}\ \forall (x''+\omega y'')\in L',\notag\\
\notag\\
(x'+\omega y')+(x''+\omega y'')&=x'+\omega y'+x''+\omega y''\notag\\
&=x'+x''+\omega y'+\omega y''\notag\\
&=(x'+x'')+\omega(y'+y'')\in L'\label{a}\\
\notag\\
(x'+\omega y')\times(x''+\omega y'')&=x'x''+x'\omega y''+\omega y'x''+\omega y'\omega y''\notag\\
&=x'x''+\alpha y'y''+x'\omega y''+\omega y'x''\notag\\
&=(x'x''+\alpha y'y'')+\omega(x'y''+y'x'')\in L'\label{b}
\end{align}
$L'$ est donc stable pour les lois $+$ et $\times$.
D'après la définition~\ref{sousanneau}, $(L',+,\times)$ est un sous-anneau de $(L,\boxplus,\boxdot)$.
De plus, l'anneau $L'$ contient l'anneau $A$ (poser $y=0$), et il contient aussi $\omega$ (poser $x=0$ et $y=1$).
\end{proof}
Ce résultat montre que si le problème admet une solution,
alors on peut construire l'anneau commutatif $(L,\boxplus,\boxdot)$ de sorte que chacun de ses éléments s'écrive sous la forme $x+\omega y$ avec $(x,y)\in A^2$.\\
Autrement dit, si nous introduisons l'application $f$, telle que
\begin{align*}
f:A\times A&\rightarrow L\\
f(x,y)&=x+\omega y 
\end{align*}
alors $f$ est \textit{surjective}
\begin{align*}
\forall u \in L,\ \exists (x,y)\in A^2\ /\ f(x,y)=u
\end{align*}
\begin{remarque}
Si $(A,+,\times)$ est un corps et si $\alpha$ n'est pas un carré dans $(A,+,\times)$, alors l'application $f$ est \textit{injective}
\begin{align*}
\forall (x',y')\!\in\! A^2,\forall (x'',y'')\!\in\! A^2,\ f(x',y')=f(x'',y'')\Rightarrow (x'=x'',y'=y'')
\end{align*}
\begin{proof}
\begin{align*}
f(x',y')&=f(x'',y'')\\
x'+\omega y'&=x''+\omega y''\\
(x'-x'')+\omega(y'-y'')&=0
\end{align*}
Posons $X=x'-x''\in A$, et $Y=y'-y''\in A$
\begin{align*}
X+\omega Y&=0
\end{align*}
Raisonnons par l'absurde.
Commençons par supposer $Y\neq 0$.

$Y$ est inversible dans $A$ puisque par hypothèse $A$ est un corps, par conséquent
\begin{align*}
\omega=(-X)Y^{-1}\in A
\end{align*}
contrairement à l'hypothèse que $\alpha$ n'est pas un carré dans $A$.\\
Donc $Y=0$. Par conséquent $X=0$, $x'=x''$, $y'=y''$ et $f$ est \textit{injective}.
\end{proof}
\end{remarque}
En introduisant l'application $f$, les égalités \eqref{a} et \eqref{b} s'écrivent
\begin{align*}
f(x',y')+f(x'',y'')&=f(x'+x'',y'+y'')\\
f(x',y')\times f(x'',y'')&=f(x'x''+\alpha y'y'',x'y''+y'x'')
\end{align*}
Ces égalités, obtenues en supposant le problème résolu, vont maintenant nous servir de point de départ pour construire une solution au problème posé.
\section{L'anneau $L$}
Soit $\alpha$ un élément d'un anneau commutatif $(A,+,\times)$, qui n'est pas un carré dans $A$.
Nous allons construire un nouvel anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$ dans lequel $\alpha$ est un carré.
Soit l'ensemble $L$, produit cartésien de $A\times A$, tel qu'un élément $(x,y)$ de $L$ soit une paire ordonnée de deux éléments $x$ et $y$ de $A$.
\begin{definition}\label{mul}
Les deux opérations $\boxplus$ et $\boxdot$ dans $(L,\boxplus,\boxdot)$ sont dé\-fi\-nies comme suit
\begin{align*}
(x',y')\boxplus(x'',y'')&=(x'+x'',y'+y'')\\
(x',y')\boxdot(x'',y'')&=(x'x''+\alpha y'y'',x'y''+y'x'')
\end{align*}
\end{definition}
lesquelles font intervenir à la fois l'élément $\alpha$ et les lois de composition dans l'anneau~$(A,+,\times)$.
\begin{theoreme}
L'ensemble $L$ muni des lois de composition internes $\boxplus$ et $\boxdot$ est un anneau.
\end{theoreme}
\begin{proof}
Suivons les cinq points de la définition \ref{anneau}.
\begin{enumerate}
\item Montrons que $(L,\boxplus)$ est un groupe abélien.\\
L'ensemble $A$ muni de la loi de composition $+$ est un groupe abélien.
D'après le théorème~\ref{t3}, le produit direct des groupes abéliens $A\times A$ est un groupe abélien, donc $(L,\boxplus)$ est un groupe abélien.
\item Montrons que $\boxdot$ est une loi de composition interne.\\
$\forall x',y',x'',y''$, quatre éléments de l'anneau $A$.\\
$x'x''+\alpha y'y''\in A$ et $x'y''+\alpha y'x''\in A$\\
On pose $a=(x',y')\in L$ et $b=(x'',y'')\in L$
\begin{align*}
a\boxdot b&=(x',y')\boxdot (x'',y'')\\
&=(x'x''+\alpha y'y'',x'y''+y'x'')\\
\forall (a,b)\in L^2,\ a\boxdot b\in L
\end{align*}
\item Montrons que la loi $\boxdot$ est associative.\\
En utilisant la définition~\ref{mul} 
\begin{align*}
&(x,y)\boxdot[(x',y')\boxdot(x'',y'')]=(x,y)\boxdot(x'x''+\alpha y'y'', x'y''+y'x'')\\
&=(x(x'x''\!+\alpha y'y'')\!+\alpha y(x'y''\!+y'x''), x(x'y''\!+y'x'')\!+y(x'x''\!+\alpha y'y''))\\
&=(xx'x''\!+x\alpha y'y''\!+\alpha yx'y'\!+\alpha yy'x'',xx'y''\!+xy'x''\!+yx'x''\!+y\alpha y'y'')
\end{align*}
et d'autre part
\begin{align*}
&[(x,y)\boxdot(x',y')]\boxdot(x'',y'')=(xx'+\alpha yy', xy'+yx')\boxdot(x'',y'')\\
&=[(xx'+\alpha yy')x''+\alpha (xy'+yx')y'', (xx'+\alpha yy')y''+(xy'+yx')x'']\\
&=(xx'x''\!+\alpha yy'x''\!+\alpha xy'y''\!+\alpha yx'y'',xx'y''\!+\alpha yy'y''\!+xy'x''\!+x'yx'')
\end{align*}
L'associativité s'obtient en comparant les résultats.
\item Montrons que la loi $\boxdot$ admet $(1,0)$ comme élément neutre 
\begin{align*}
(1,0)\boxdot(x,y)&=(1x+\alpha 0y,1y+0x)\\
&=(x+\alpha 0,y+0)\\
&=(x,y)
\end{align*}
\item Montrons que la loi $\boxdot$ est distributive à gauche par rapport à la loi~$\boxplus$
\begin{align*}
&(x,y)\boxdot[(x',y')\boxplus(x'',y'')]=(x,y)\boxdot(x'+x'',y'+y'')\\
&=(x(x'+x'')+\alpha y(y'+y''),x(y'+y'')+y(x'+x''))\\
&=(xx'+xx''+\alpha yy'+\alpha yy'',xy'+xy''+yx'+yx'')\\
&=((xx'+\alpha yy')+(xx''+\alpha yy''),(xy'+yx')+(xy''+yx''))\\
&=(xx'+\alpha yy',xy'+yx')\boxplus(xx''+\alpha yy'',xy''+yx'')\\
&=[(x,y)\boxdot(x',y')]\boxplus[(x,y)\boxdot(x'',y'')]
\end{align*}
De même pour la distributivité à droite.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{theoreme}\label{Lac}
$(L,\boxplus,\boxdot)$ est un anneau commutatif.
\end{theoreme}
\begin{proof}
Montrons que la loi $\boxdot$ est commutative
\begin{align*}
(x,y)\boxdot(x',y')&=(xx'+\alpha yy',xy'+yx')\\
&=(x'x+\alpha y'y,x'y+y'x)\\
&=(x',y')\boxdot(x,y)
\end{align*}
D'après la définition~\ref{anneaucommutatif}, l'ensemble $L$ muni des lois de composition $\boxplus$ et $\boxdot$ est donc un anneau commutatif.
\end{proof}
\begin{theoreme}
L'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$ contient un sous-anneau i\-so\-mor\-phe à l'anneau $(A,+,\times)$.
\end{theoreme}
\begin{proof}
Considérons l'application
\begin{align*}
f : A&\rightarrow A\times A\\
f(x)&=(x,0)
\end{align*}
A tout élément $(x,0)$ de l'ensemble $A\times A$ correspond un élément unique $x$ de l'ensemble $A$ par $f$.
Par conséquent $f$ est bijective
\begin{align*}
\forall(x,0)\in A^2,\ \exists!\ x\in A\ /\ f(x)=(x,0)
\end{align*}
De plus, nous avons les relations suivantes 
\begin{align*}
f(x')\boxplus f(x'')&=(x',0)\boxplus(x'',0)\\
&=(x'+x'',0+0)\\
&=(x'+x'',0)\\
&=f(x'+x'')\\
\\
f(x')\boxdot f(x'')&=(x',0)\boxdot(x'',0)\\
&=(x'x''+\alpha 0\times0,x'0+x''0)\\
&=(x'x'',0)\\
&=f(x'x'')\\
\\
f(1)&=(1,0)
\end{align*}
D'après la définition~\ref{morphismed'anneau}, $f$ est un isomorphisme de l'anneau $(A,+,\times)$ sur un sous-anneau de l'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$.
\begin{notation}
Comme $f$ transforme les lois de compositions de l'anneau $(A,+,\times)$ en celles du sous-anneau $f(A)$ de l'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$,
il n'y a aucun inconvénient à identifier chaque élément $x$ de l'anneau $(A,+,\times)$ à l'élément $f(x)$ de l'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$.
Nous utiliserons la notation (incorrecte) suivante
\begin{align*}
(x,e)&=x 
\end{align*}
or
\begin{align*}
(x,y)&=(x+0,0+y)\\
&=(x,0)\boxplus(0,y)\\
&=(x,0)\boxplus(0y+\alpha 1\times0,0\times0+1y)\\
&=(x,0)\boxplus[(0,1)\boxdot(y,0)]
\end{align*}
d'où la notation suivante
\begin{align}
(x,y)=x+\omega y\label{notation}
\end{align}
avec en particulier,
\begin{align*}
(1,0)&=1\\
(0,1)&=0+\omega 1\\
&=\omega
\end{align*}
En utilisant cette notation, les définitions \ref{mul} s'écrivent
\begin{align}
(x'+\omega y')+(x''+\omega y'')&=(x'+x'')+\omega (y'+y'')\label{c}\\
(x'+\omega y')\times(x''+\omega y'')&=(x'x''+\alpha y'y'')+\omega(x'y''+y'x'')\label{d}
\end{align}
\end{notation}
Il reste à montrer que $\alpha$ est un carré dans l'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$.
Con\-si\-dé\-rons l'élément $\omega=(0,1)$ de l'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$.
On a alors
\begin{align*}
\omega ^2&=(0,1)(0,1)\\
&=(0\times0+\alpha 1\times1,0\times1+1\times0)\\
&=(\alpha,0)\\
&=\alpha
\end{align*}
puisqu'on a convenu d'identifier chaque élément $x$ de l'anneau $(A,+,\times)$ à l'élément $f(x)$ de l'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$.
\end{proof}
L'anneau $(L,\boxplus,\boxdot)$ se note $A[\sqrt{\alpha}]$ et s'appelle une \textit{extension quadratique de $A$}.
On dit que $A[\sqrt{\alpha}]$ s'obtient par \textit{adjonction à $A$ d'une racine carré de $\alpha$}.
\section{Eléments inversibles d'une extension quadratique}
Soient $A$ un anneau commutatif et $\alpha$ un élément de $A$. On considère l'extension quadratique $L=A[\sqrt{\alpha}]$.
\begin{definition}
Soit $z=(x,y)=x+\omega y\in L$. On appelle conjugué de $z$, l'élément $\bar z$ de $L$, tel que
\begin{align*}
\bar z&=(x,-y)\\
&=x+(-\omega y)\\
&=x-\omega y
\end{align*}
\end{definition}
\begin{definition}\label{norme}
Soit $z=x+\omega y\in L$. On appelle norme de $z$, l'élément
\begin{align*}
N(z)&=\bar zz\\
&=(x-\omega y)\times(x+\omega y)\\
&=x^2-\omega^2y^2\\
&=x^2-\alpha y^2
\end{align*}
\end{definition}
On remarque que $N(1)=1$.
\begin{theoreme}
\begin{align*}
\overline{z'+z''}=\bar z'+\bar z''
\end{align*}
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]
\begin{align*}
\overline{z'+z''}&=\overline{(x'+\omega y')+(x''+\omega y'')}\\
&=\overline{(x'+x'')+\omega(y'+y'')}\\
&=(x'+x'')-\omega (y'+y'')\\
&=(x'+x'')+[-\omega y'+(-\omega y'')]\\
&=(x'-\omega y')+(x''-\omega y'')\\
&=\bar z'+\bar z''
\end{align*}
\end{proof}
\begin{theoreme}
\begin{align*}
\overline{z'z''}=\bar z'\bar z''
\end{align*}
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]
\begin{align*}
\overline{z'z''}&=\overline{(x'+\omega y')\times(x''+\omega y'')}\\
&=\overline{(x'x''+\alpha y'y'')+\omega(x'y''+y'x'')}\\
&=(x'x''+\alpha y'y'')-\omega(x'y''+y'x'')\\
&=(x'x''+\alpha y'y'')+[-\omega x'y''+(-\omega y'x'')]\\
&=(x'-\omega y')\times(x''-\omega y'')\\
&=\bar z'\bar z''
\end{align*}
\end{proof}
\begin{theoreme}
\begin{align*}
N(z'z'')=N(z')N(z'')
\end{align*}
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]
\begin{align*}
N(z'z'')&=\overline{z'z''}\times z'z''\\
&=\overline{z'}\times\overline{z''}\times z'\times z''\\
&=\overline{z'}\times z'\times\overline{z''}\times z''\\
&=\overline{z'}z'\times \overline{z''}z''\\
&=N(z')N(z'')
\end{align*}
\end{proof}
\begin{theoreme}\label{inv}
Soient $A$ un anneau commutatif, $\alpha$ un élément de $A$, et $z$ un élément de l'anneau $A[\sqrt{\alpha}]$.
Pour que $z$ soit inversible dans l'anneau $A[\sqrt{\alpha}]$, il faut et il suffit que $N(z)$ le soit dans $A$. On a alors
\begin{align}
z^{-1}=N(z)^{-1}\,\bar z\label{zinv} 
\end{align}
\end{theoreme}
\begin{proof}[Démonstration]
Supposons $z$ inversible, alors
\begin{align*}
z^{-1}z&=1\\
N(z^{-1}z)&=N(1)\\
N(z^{-1})N(z)&=1
\end{align*}
$N(z)$ est donc bien un élément inversible de l'anneau $A$.\\
Inversement, supposons $N(z)$ inversible dans $A$, alors
\begin{align*}
\bar zz&=N(z)\\
N(z)^{-1}\,\bar zz&=1\\
N(z)^{-1}\,\bar z&=z^{-1}
\end{align*}
donc $z$ est inversible.
\end{proof}
\section{Le corps $\mathbb R$ des nombres réels}
Prenons le cas où $A=\mathbb R$, corps des nombres réel, et $\alpha=-1$.
D'après le théorème \ref{Lac}, $\mathbb R[\sqrt{-1}]$ est un corps commutatif.
Il s'appelle corps des nombres complexes et se note $\mathbb C$. Un nombre complexe est un couple de nombres réels $(x,y)$.
Les calculs sur les nombres complexes se font grâce aux égalités \ref{c} et \ref{d}. 
\begin{propriete}
Dans la pratique on utilise seulement les propriétés suivantes des nombres complexes
\begin{enumerate}
\item les nombres complexes forment un corps commutatif $\mathbb C$
\item le corps $\mathbb R$ des nombres réels est un sous-corps de $\mathbb C$
\item il existe un nombre complexe $i$ \textnormal{(cette notation remplace la notation $\omega$ utilisée pour les extensions quadratiques générales)}, tel que
\begin{align*}
i^2=-1
\end{align*}
\item $\forall(x,y)\in\mathbb R^2$, tout nombre complexe $z$ s'écrit d'une façon et d'une seule, sous la forme
\begin{align*}
z=x+iy
\end{align*}
$x+iy$ est appelée forme algébrique du nombre complexe $(x,y)$. $x$ est la partie réelle de $z$, et $y$ est sa partie imaginaire.
\end{enumerate}
\end{propriete}
On utilise les notations suivantes
\begin{align*}
x&=Re(z)\\
y&=Im(z)
\end{align*}
Nous pouvons vérifier que tout élément non nul de $\mathbb C$ admet un inverse. Soit $z=x+iy$ un nombre complexe. D'après la définition \ref{norme}, sa norme s'écrit
\begin{align*}
N(z)&=x^2-\alpha y^2\\
&=x^2+y^2
\end{align*}
et d'après le théorème \ref{inv}, son inverse s'écrit
\begin{align*}
z^{-1}&=N(z)^{-1}\,\bar z\\
&=\dfrac{x}{x^2+y^2}-i\dfrac{y}{x^2+y^2}
\end{align*}
le dénominateur ne peut s'annuler que si $x=y=0$, c'est à dire si $z=0$.
\end{document}
