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\newtheorem{axiome}{Axiome}[section]
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\newtheorem*{propriete}{Propri\'et\'es}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{exemple}{Exemple}
\newtheorem*{remarque}{Remarque}
\newtheorem*{notation}{Notation}
\newtheorem{experience}{Exp\'erience}[section]


\title{Transformation de Legendre}
\author{Olivier Cast\'era}
\email{o.castera@free.fr}
\urladdr{http://o.castera.free.fr/}
\date{\today}

\begin{document}
\begin{abstract}
La transformation de Legendre permet d'exprimer une fonction gr\^ace \`a l'enveloppe de ses tangentes.
\end{abstract}
\maketitle
\tableofcontents
\section{Equation de la tangente en un point}
Soit $M(x_{M},y_{M})$ un point quelconque d'une fonction $y=f(x)$.
Cherchons l'\'equation de la tangente \`a $f$ au point $M$, autrement dit cherchons les param\`etres $a$ et $b$ de la droite $y=ax+b$ trac\'ee sur la figure~\eqref{tan}~: 

%\psset{unit=1 cm,algebraic=true} pour ne plus etre en polonaise inverse
\begin{figure}[!h]
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(4,6.5)
  \psline{->}(-1.5,0)(4,0)
  \psline{->}(0,-.5)(0,6)
  \psset{dotstyle=+}
  \psline{->}(0,0)(.5,0)
  \rput(0.3,-0.4){$\vec i$}
  \psline{->}(0,0)(0,1)
  \rput(-0.2,0.5){$\vec j$}
  \newcommand {\F}{x 2 exp x 2 mul sub 4 add} 
  \newcommand {\G}{x 1.75 add}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-.7}{2.7}{\F}
  \psplot[linecolor=green,linewidth=1.5pt]{-1}{3}{\G}
  \rput[l](-.2,6){$y$}
  \rput[l](4,-.2){$x$}
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,3.25)
  \psline[linestyle=dashed](0,3.25)(1.5,3.25)
  \rput(-.2,3.25){$y_{M}$}
  \rput(1.5,-.3){$x_{M}$}
  \rput(-.1,1.9){\green $b$}
  \rput(3.5,4.5){\green $y=ax+b$}
  \rput(1.45,3.6){\blue $M$}
  \rput(3,6.3){\blue $y=f(x)$}
  \psline[linestyle=dotted](1.5,3.25)(2.5,3.25)
  \psline[linestyle=dotted](0,1.75)(1,1.75)
  \psarc{<->}(1.5,3.25){1}{0}{26.565}
  \psarc{<->}(0,1.75){1}{0}{26.565}
  \rput(2.15,3.5){$\alpha$}
  \rput(.65,2){$\alpha$}
\end{pspicture}
\caption{Tangente \`a une courbe}
\label{tan}
\end{figure}

Par d\'efinition, la d\'eriv\'ee de $f$ au point $M$ est \'egale \`a la tangente de l'angle~$\alpha$ que fait la tangente \`a $f$ au point $M$ avec l'horizontale~:
\begin{align*}
f'(x_{M})&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{M}+h)-f(x_{M})}{h}\\
&=\tan\alpha
\end{align*}
Or, en prenant l'\'equation de la tangente au point $M$, on a~:
\begin{align*}
y_{M}&=a\,x_{M}+b
\end{align*}
si bien que,
\begin{align*}
a&=\frac{y_{M}-b}{x_{M}-0}\\
&=\tan\alpha\\
&=f'(x_{M})
\end{align*}
par cons\'equent,
\begin{align}
b&=y_{M}-a\,x_{M}\notag\\
&=f(x_{M})-a\,x_{M}\label{b}\\
&=f(x_{M})-f'(x_{M})\,x_{M}\notag
\end{align}
Ayant les deux param\`etres $a$ et $b$, nous pouvons \'ecrire l'\'equation de la tangente en~$M$~:
\begin{align*}
y&=f'(x_{M})\,x+f(x_{M})-f'(x_{M})\,x_{M}
\end{align*}
\section{Equation de l'enveloppe}
Nous cherchons l'\'equation de toutes les tangentes, autrement dit, $b$ en fonction de $a$. Pour cela nous repartons de l'\'equation~\eqref{b} :
\begin{align*}
b(a)&=f(x_{M})-a\,x_{M}
\end{align*}
Mais le point $M$ parcourt alors toute la courbe $f$, et $x_{M}$ devient une variable~:
\begin{align*}
b(a)&=f(x)-a\,x
\end{align*}
Comme $a$ est la nouvelle variable, il nous reste \`a exprimer $f(x)$ et $x$ en fonction de $a$. Pour cela il nous faut l'expression de la fonction~$f$.
\begin{exemple}
Trouver la transform\'ee de Legendre de $f(x)=x^{2}$.\\
La nouvelle variable $a$ s'\'ecrit :
\begin{align*}
a&=f'(x)\\
&=2x
\end{align*}
On exprime $f(x)$ en fonction de $a$ :
\begin{align*}
f(x)&=x^{2}\\
&=\frac{(2x)^{2}}{4}\\
&=\frac{a^{2}}{4}
\end{align*}
On exprime $x$ en fonction de $a$ :
\begin{align*}
x&=\frac{a}{2}
\end{align*}
La transform\'ee de Legendre de $f(x)$ est alors :
\begin{align*}
b(a)&=f(x)-a\,x\\
&=\frac{a^{2}}{4}-a\times\frac{a}{2}\\
&=-\frac{a^{2}}{4}
\end{align*}
\end{exemple}
On retiendra que dans toute transformation de Legendre, la nouvelle variable $a$ est la d\'eriv\'ee de la fonction de d\'epart $f(x)$ par rapport \`a l'ancienne variable $x$.
\section{Involution de la transformation de Legendre}
Si l'on applique deux fois la transformation de Legendre, on retombe sur la fonction de d\'epart. En effet, la transform\'ee de Legendre de la fonction $f(x)$ est donn\'ee par :
\begin{align*}
b(a)=f(x)-a\,x
\end{align*}
Si l'on applique de nouveau la transformation de Legendre, la nouvelle variable, not\'ee $n$, est telle que~:
\begin{align*}
n&=\frac{d}{da}\,b(a)\\
&=\frac{d}{da}f(x)-x-a\,\frac{dx}{da}
\end{align*}
et la transform\'ee de Legendre de $b(a)$ s'\'ecrit :
\begin{align*}
g(n)&=b(a)-n\,a\\
&=f(x)-a\,x-\left[\frac{d}{da}\,f(x)-x-a\,\frac{dx}{da}\right] a\\
&=f(x)-\left[\frac{d}{da}\,f(x)-\frac{d}{dx}\,f(x)\,\frac{dx}{da}\right]a\\
&=f(x)
\end{align*}
Nous en concluons que la transformation de Legendre ne perd ni n'ajoute d'information \`a la fonction de d\'epart.
\begin{exemple}
Poursuivons le premier exemple, et cherchons la transfom\'ee de Legendre de $b(a)=-a^{2}/4$. La nouvelle variable $n$ s'\'ecrit :
\begin{align*}
n&=b'(a)\\
&=-\frac{a}{2}
\end{align*}
On exprime $b(a)$ en fonction de $n$ :
\begin{align*}
b(a)&=-n^{2}
\end{align*}
On exprime $a$ en fonction de $n$ :
\begin{align*}
a&=-2n
\end{align*}
La transform\'ee de Legendre de $b(a)$ est alors :
\begin{align*}
g(n)&=b(a)-n\,a\\
&=-n^{2}+2n^{2}\\
&=n^{2}
\end{align*}
On retrouve la propri\'et\'e d'involution de la transform\'ee de Legendre.
\end{exemple}
\end{document}
